Kugeln, Kepler, Katastrophen

Exkursion des LK Mathematik an die Technische Universität Berlin

Am 11. Januar 2015 machten wir, der LK Mathematik des 4. Semesters, uns gemeinsam mit unserer Kurslehrerin Frau Strunk auf den Weg zur TU, um uns eine Vorlesung zum Thema „Kugeln, Kepler, Katastrophen“ anzuhören. Diese wurde von Herrn Professor Martin Henk im Rahmen des Projekts "Meet den Prof" gehalten, es war also nur unser Kurs anwesend, sodass er, anders als hätten wir eine normale Vorlesung besucht, genau auf unsere Fragen eingehen und seine Erklärungen unserem Wissen anpassen konnte.

Zu Beginn beschäftigten wir uns vor allem mit Kugeln und Kugelpackungen. Diese begegnen uns auch im Alltag häufig: So werden Orangen meistens im Netz verkauft, Tennisbälle in einer Röhre und Mozartkugeln in einer sechseckigen Schachtel.

Orangennetz

Tennisballdose

Verpackung für Mozartkugeln

Gemeinsam überlegten wir, welche Verpackung die materialsparendste und damit ökonomischste, also die optimale ist. Herr Professor Henk erklärte uns, dass dies eines der ältesten und bekanntesten Probleme der angewandten Geometrie sei.

So hatte sich unter anderem Kepler damit beschäftigt, über dessen Arbeit uns Herr Professor Henk auch einiges erzählte. Auch Kepler hatte, genau wie wir, überlegt, in welcher Form Kugeln optimal verpackt werden konnten. Dazu untersuchte er in der Natur auftretende Formen und Muster wie Schneeflocken und die Anordnung von Kernen in Granatäpfeln. Dabei stellte er fest, dass ebendiese Kerne in großer Anzahl auf sehr kleinem Raum gepackt sind. Er versuchte nun, eine Kugelpackung so zu konstruieren, dass die Dichte möglichst groß ist. Er vermutete dabei, dass die hexagonale Packung die größte Dichte besäße. Diese entspricht beispielhaft der Anordnung von Äpfeln oder Orangen beim Obsthändler (also wie eine Pyramide); mathematisch betrachtet, gibt es eine Grundschicht von Kugeln, in der jede Kugel von sechs anderen berührt wird. Auf diese Grundschicht werden nun Kopien der Grundschicht gestapelt, sodass die Kugeln der Kopie in die Lücken der Grundschicht fallen. Von dieser Kugelpackung behauptete Kepler, dass sie die größte Dichte besäße, heute bekannt als Kepler-Vermutung.

Granatapfel

hexagonale Kugelpackung

Obstpyramiden

Es gibt jedoch nicht nur eine Kepler-Vermutung, so berichtete Herr Prof. Henk, sondern auch eine Wurstvermutung, was allgemeine Erheiterung hervorrief. Die hier zugrunde liegende Kugelpackung ist die sogenannte "Wurst", also dass alle Kugeln in einer Reihe liegen, wie zum Beispiel bei der Verpackung von Tennisbällen.

wurstpackung

Wir erfuhren nun, dass man nicht pauschal von "der optimalen" Kugelpackung sprechen kann, sondern diese von der Anzahl und auch von der Dimension der zu verpackenden Kugeln abhängt. Dies erschien uns erst einmal sehr verwirrend. Wie sollte eine vierdimensionale Kugel aussehen? Doch Herr Professor Henk erklärte uns, auch er könne sich dies nicht vorstellen, man könne nur mit diesen hochdimensionalen Körpern rechnen. Wir versuchten dann noch, uns einen vierdimensionalen Würfel vorstellen zu können, den man tatsächlich auch als Animation im Internet bewundern kann. Zugrunde liegt diesem, dass ein zweidimensionaler Würfel – auch bekannt als Quadrat – einen eindimensionalen Würfel als Seitenfläche hat – auch als einfache Strecke bekannt - und so ein dreidimensionaler Würfel einen zweidimensionalen Würfel als Seitenfläche hat. Somit muss ein vierdimensionaler Würfel einen dreidimensionalen Würfel als Seitenfläche haben.

Als das geklärt war, widmeten wir uns wieder den Kugeln. Wir erfuhren, dass es passend zur Wurstvermutung auch eine Wurstkatastrophe gab: Ab welcher Anzahl an Kugeln ist die Dichte der Wurstpackung kleiner als die der Kugelgitterpackung? Für dieses Problem gibt es heutzutage sogar eine Antwort: Bis zu 56 Kugeln lassen sich optimal in der Wurst anordnen, danach ist die Kugelgitterpackung ökonomischer.

Herr Professor Henk erzählte uns, er habe mit einem Team an Mathematikern versucht zu beweisen, die Wurst sei die optimale Verpackung, auch bei Kugeln höherer Dimension. Sie begannen bei der dreizehnten Dimension, denn es ist anscheinend leichter, diesen Beweis mit höheren Zahlen aufzustellen. Bis zur 42. Dimension haben sie diesen Nachweis durchgeführt, dann wurde ihnen der Rechenaufwand zu groß. Warum 42, fragten wir ihn: laut "Per Anhalter durch die Galaxis" die Lösung für alles. Ab der 5. Dimension gilt dies nur als Vermutung.

Allgemein war der Tag in der TU eine sehr interessante Veranstaltung die uns allen großen Spaß gemacht hat. Man merkte, dass Herr Professor Henk Spaß an diesem Thema hatte, der sich automatisch auf uns übertrug. Es gab viele lustige Momente, z.B. als wir auf die Wurstkatastrophe zu sprechen kamen oder als erst einmal geklärt werden musste, dass wir als LK Mathematik zwar nicht wissen, wie man eine Kugelgleichung aufstellt, aber trotzdem mit Betragsstrichen und Summenzeichen umgehen können. Auch war es sehr interessant, über Themen zu reden, die in der Schule nicht behandelt werden. Mehr als dreidimensionale Körper gibt es in der Schulmathematik nicht, so war dies etwas komplett Neues für uns. Auch wenn wir nicht immer alles verstanden haben, so haben wir doch alle etwas Neues dazu gelernt und uns große Mühe gegeben, den Ausführungen zu folgen.

Wer sich für weitere Informationen zu Kepler, Kugelpackungen und Wurstvermutung interessiert, sollte den Artikel "Kugelpackungen" von Professor Martin Henk lesen.

Text: Sabrin Aydin und Lucie Ewering, LK Mathematik, 4. Sem. (Schuljahr 2015/16)
Grafiken: Wikipedia; Fotos: diverse Internetquellen

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